Elysia Tools
Mobile Navigation
Math
Baue eine Vietoris–Rips-Filtrierung nach Skala ε auf, verfolge Geburt und Tod von Komponenten, Schleifen und Hohlräumen und trenne echte Struktur von Rauschen mit Barcodes, Persistenzdiagrammen und der Bottleneck-Distanz.
Statische Visualisierung öffnenAuf einen Blick
Verifizierte Ergebnisse
Jeder Parametersatz und jedes Ergebnis ist eine feste Ausgabe des Modells dieser Seite (vor Auslieferung per Assertion geprüft) und direkt reproduzierbar: Spalte Parameter im interaktiven Panel übernehmen.
| Szenario | Parameter | Ergebnis |
|---|---|---|
| Einzelkreis: ein langer Balken | 36 Punkte auf dem Einheitskreis, σ = 0, ε = Kugelradius, maxDim = 1 | H₁ [0.087156, 0.866025], Persistenz 0.778870; H₀ 35 endliche + 1 essentielle; 630 Kanten / 7140 Dreiecke |
| Zwei Ringe: zwei gleiche Balken | 2 × 24 Punkte, R = 0.62, Mittelpunkte (±0.72, 0), σ = 0 | H₁ 2 × [0.080926, 0.536936] (Persistenz 0.456010) + 2 × [0.121126, 0.136608]; die Ringe verschmelzen bei ε = 0.100000 |
| Gleichverteiltes Rauschen: nur kurze Balken | 80 gleichverteilte Punkte in [−1,1]², mulberry32(20261112), σ = 0 | 14 H₁-Balken, längste Persistenz 0.117468 = 15.1% der des Kreises; größter endlicher H₀-Tod 0.177536 |
| Swiss Roll: gerollt ≠ Loch | archimedisches Spiralband mit 80 Punkten, 3 Windungen, radialer Jitter ±0.05, mulberry32(20261112) | 29 H₁-Balken, längste Persistenz 0.168680 = 21.7% der des Kreises; jede H₁-Klasse stirbt vor ε = 0.29 |
| Polygon-Anker und Wedge-Vielfachheiten | Fünfeck / Sechseck R = 1; Kreis 36 und Ringe 24 mit aktiviertem H₂ |
Quellen
Publikationen und Datensätze, auf denen diese Visualisierung beruht - jede Formel, jeder Algorithmus und jeder Datenanker der Seite lässt sich auf die folgenden Quellen zurückführen.
Edelsbrunner H., Letscher D., Zomorodian A. (2002). Topological Persistence and Simplification. Discrete & Computational Geometry 28(4), 511-533.
Zomorodian A., Carlsson G. (2005). Computing Persistent Homology. Discrete & Computational Geometry 33(2), 249-274.
Cohen-Steiner D., Edelsbrunner H., Harer J. (2007). Stability of Persistence Diagrams. Discrete & Computational Geometry 37(1), 103-120.
Verwandt
Weiter
| Fünfeck H₁ [0.587785, 0.951057], Verhältnis φ = 1.618034; Sechseck H₂ [0.866025, 1]; H₂-Zahlen 11 / 14 / 1 / 0 = n − 2k − 1 |
| Stabilität unter Störung | Kreis mit 36 Punkten + Gauß-Jitter, σ = 0, 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, Seed 20261112 | bei σ = 0.05 ist die maximale Verschiebung δ = 0.124824 und die gemessene d_B = 0.090111 ≤ δ = 0.124824; alle 6 geprüften σ erfüllen die Schranke |
Carlsson G. (2009). Topology and data. Bulletin of the American Mathematical Society 46(2), 255-308.
Ghrist R. (2008). Barcodes: The persistent topology of data. Bulletin of the American Mathematical Society 45(1), 61-75.
Adamaszek M., Adams H. (2017). The Vietoris–Rips complexes of a circle. Pacific Journal of Mathematics 290(1), 1-40.
Bauer U. (2021). Ripser: efficient computation of Vietoris–Rips persistence barcodes. Journal of Applied and Computational Topology 5(3), 391-423.
Leitfaden zur Tool-Nutzung
Diese Seite macht aus einer ebenen Punktwolke eine geschachtelte Familie simplizialer Komplexe und zeichnet Geburts- und Todesskala jedes topologischen Merkmals als Barcode. ε ist hier ein Kugelradius: zwei Punkte werden verbunden, wenn ihr Abstand höchstens 2ε beträgt, und eine Punktmenge spannt ein Simplex auf, wenn alle Paare verbunden sind — ein Simplex tritt also bei der Hälfte seiner längsten Kante ein. Der ε-Regler ändert nur die angezeigte Skala; die Persistenz wird nicht neu berechnet.
Die Literatur definiert den Vietoris–Rips-Komplex meist mit einer Abstandsschwelle r. Diese Seite verwendet r = 2ε, damit Kanten genau dann erscheinen, wenn sich die gezeichneten ε-Kugeln berühren; Bild und Parameter bleiben damit konsistent: filtration(σ) = max d(xᵢ, xⱼ) / 2.
Die Filtrierung endet bei ε_max = ½ · minₓ maxᵧ d(x, y). Auf dieser Skala ist ein Punkt mit allen anderen verbunden, der Komplex ist ein Kegel mit dieser Spitze und damit zusammenziehbar, und kein Balken kann später sterben. Der Schnitt ist exakt, keine numerische Obergrenze.
Ecken, Kanten, Dreiecke und Tetraeder werden nach Dimension und Filtrierungswert aufgezählt. Die Reduktion addiert nur Spalten derselben Dimension und übernimmt die von einer globalen Filtrierung induzierte Zeilen- und Spaltenordnung. Die Dimensionen lassen sich getrennt verarbeiten; ihre Verkettung ist keine globale Skalenordnung.
Die Reduktion ist der Standard-Spaltenalgorithmus über GF(2) (Zomorodian–Carlsson 2005). Eine Spalte, die auf eine von Null verschiedene Kette reduziert, paart ihre unterste Zeile mit sich selbst als (Geburt, Tod); eine Spalte, die auf Null reduziert, lässt ein ungepaartes positives Simplex übrig. Apparent Pairs im Sinne von Ripser werden direkt gepaart, ohne Elimination.
H₀ benutzt Union-Find mit der Elder-Regel und hält fest, welche Punkte jede Komponente aufgenommen hat — ein Klick auf einen H₀-Balken hebt diese Menge hervor. Der repräsentierende 1-Zyklus eines H₁-Balkens ist der Träger der reduzierten Dreiecksspalte: ein von der Reduktion geliefertes Erzeugendensystem, kein eindeutiges.
Die folgende Tabelle ist bei σ = 0 mit maxDim = 1 gemessen; die Zufallsvorlagen verwenden den festen Seed 20261112. Das längste H₁-Intervall ist der persistenteste Balken, und die beiden langen Balken der zwei Ringe sind gleich lang.
Der Kreisbalken persistiert über 0.778870. Das Maximum des gleichverteilten Rauschens beträgt 15.1% davon, das der ebenen Spirale 21.7%. Dies sind Messungen fester Stichproben; die Kontrahierbarkeit einer Fläche bestimmt nicht den Barcode ihrer projizierten Punktwolke bei endlichen Skalen.
| Wolke | Punkte | H₁-Balken | Längstes H₁-Intervall |
|---|---|---|---|
| Kreis | 36 | 1 | [0.087156, 0.866025] |
| Zwei Ringe | 48 | 4 | [0.080926, 0.536936] |
| Gleichmäßiges Rauschen | 80 | 14 | [0.152377, 0.269845] |
| Swiss Roll | 80 | 29 | [0.121256, 0.289937] |
Vergleiche die gestörte Wolke punktweise mit derselben Vorlage bei σ = 0; δ ist die maximale Verschiebung. Aus |d′ − d| ≤ 2δ und f = max d / 2 folgt ‖f − g‖∞ ≤ δ, also d_B ≤ δ für die H₁-Diagramme.
Bei σ = 0.05 ist die gemessene Verschiebung δ = 0.124824 und die Bottleneck-Distanz d_B = 0.090111, innerhalb von δ = 0.124824. Alle sechs geprüften Einstellungen σ = 0, 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2 erfüllen die Schranke. Die Bottleneck-Distanz wird exakt gelöst: binäre Suche über Kandidatenschwellen mit augmentierenden Wegen im bipartiten Matching. Die Diagonale erlaubt wiederholte Zuordnungen mit Kosten (death − birth)/2; diese sind nicht kostenlos.
Balken zeigen die Lebensdauer der Homologieklassen; Balken über zwei Skalen zählen den Rang der Persistenzabbildung. Störungen können Balken erzeugen, verkürzen oder entfernen. Ihre Anzahl wächst nicht zwingend mit σ. Die Schwelle ℓ blendet kurze Balken ab, ohne die Berechnung zu ändern. Lange Persistenz ist kein Signifikanztest.
H₂ ist oberhalb von 60 Punkten deaktiviert
H₂ braucht alle Tetraeder, und ihre Zahl wächst wie C(n, 4). Oberhalb von 60 Punkten wird der Knopf mit Begründung deaktiviert, statt den Komplex abzuschneiden — dessen Homologie wäre dann falsch.
Dreiecksfüllung entfällt bei zu vielen Dreiecken
Oberhalb von 12000 Dreiecken auf der aktuellen Skala entfällt die Vereinigungsfüllung, und die Zählerzeile sagt das. Das ist nur eine Zeichengrenze; Barcode und Betti-Zahlen benutzen weiterhin den vollständigen Komplex.
Der Barcode zeigt höchstens 24 Balken pro Dimension
Balken werden nach Persistenz sortiert und die ersten 24 jeder Dimension gezeichnet, mit angezeigt/gesamt in der Ecke. Die Grenze muss pro Dimension gelten: H₀ hat einen Balken pro Ecke, eine globale Grenze würde also alle H₁- und H₂-Zeilen verdrängen.
Leere, einpunktige und kollineare Wolken
Eine leere Wolke deaktiviert die Regler und meldet das; ein einzelner Punkt hat ε_max = 0 und einen essentiellen H₀-Balken; kollineare Punkte haben kein H₁. Alle diese Fälle liefern definierte Ausgaben statt eines Fehlers.
Verwendung
Wähle den Kreis, drücke den Knopf für die Geburt der Schleife (ε = 0.087156), dann den für ihren Tod (0.866025), und klicke die H₁-Zeile im Barcode an.
Kreis, 36 Punkte; σ = 0; maxDim = 1; ε = 0.087156 → 0.866025Ergebnis
Bei ε = 0.087156 haben sich die 36 Punkte gerade zum Ring geschlossen und β₁ = 1; bei ε = 0.866025 haben Dreiecke ihn gefüllt und β₁ = 0. Der hervorgehobene Repräsentant benutzt 36 Ecken und 36 Kanten.
Verwendung
Wechsle zwischen Kreis und gleichmäßigem Rauschen und vergleiche die längste H₁-Persistenz; ziehe danach die Schwelle ℓ über 0.2 und beobachte, wie die Rauschbalken abgeblendet werden.
gleichmäßiges Rauschen, 80 Punkte; mulberry32(20261112); σ = 0; ℓ = 0 → 0.2Ergebnis
Der Kreis persistiert 0.778870; der längste der 14 H₁-Balken des Rauschens ist 0.117468, also 15.1% davon. Die Schwelle ändert nur Anzeige und Filterung, nicht den berechneten Barcode.
Verwendung
Wähle den Kreis, ziehe die gaußsche Störung σ auf 0.05 und lies das Stabilitätspanel.
Das ist eine Leseheuristik, kein Satz. Eine Klasse, die über einen weiten Skalenbereich besteht, reagiert relativ unempfindlich auf Störung, während sehr kurze Klassen oft aus lokalem Sampling-Zittern entstehen. Diese Seite führt keinen statistischen Signifikanztest durch; die Wahl von ℓ erfordert weiterhin ein Urteil über die Daten.
Nein. Berechnet wird nur der Vietoris–Rips-Komplex; er braucht keine Kugelschnitte, erkauft mit einem Faktor zwei in der Skala: Č(X, ε) ⊆ VR(X, 2ε) ⊆ Č(X, 2ε). Zeugenkomplexe liegen ebenfalls außerhalb des Rahmens.
Ja. Für ein regelmäßiges n-Eck ist die H₁-Geburt sin(π/n) und der Tod sin(π·⌈n/3⌉/n), in den Tests für n = 3…16, 24 und 36 geprüft. Mit aktiviertem H₂ liefern der 36-Punkte-Kreis, die 24-Punkte-Ringe, das Sechseck und das Fünfeck 11, 14, 1 und 0 H₂-Balken, passend zu n − 2k − 1 aus Satz 4.3 von Adamaszek–Adams. Dieser Satz betrifft das endliche n-Eck mit Sehnenmetrik und gilt nicht direkt für einen dicht abgetasteten Kreis.
Kreis, 36 Punkte; σ = 0.05; Seed 20261112; Referenz ist dieselbe Vorlage bei σ = 0Ergebnis
Die gemessene maximale Verschiebung ist δ = 0.124824, die Bottleneck-Distanz d_B = 0.090111 und liegt innerhalb von δ = 0.124824. Eine von Hand bearbeitete Wolke hat keine Referenz bei σ = 0, das Panel zeigt dann d_B = – statt eine Zahl zu erfinden.