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Calculadora de normalização de funções de onda

· Última atualização：2026-08-29

Resolve a constante de normalização A (tal que ∫|ψ|²dx = 1) para as famílias clássicas: poço infinito ψ = A·sin(nπx/L) dá A = √(2/L); gaussiana A·exp(−x²/(2σ²)) dá A = (πσ²)^(−1/4); estado fundamental do oscilador A·exp(−mωx²/(2ℏ)) dá A = (mω/πℏ)^(1/4); exponencial unilateral A·exp(−αx) dá A = √(2α). Inclui a verificação de probabilidade unitária e os momentos ⟨x⟩, σ_x.

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Escrito pela equipe Elysia Tools

Guia de uso da ferramenta

Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.

Fatos principais

Categoria
Science & Education
Tipos de entrada
select, number
Tipo de saída
text
Cobertura de exemplos
4
API pronta
Sim

Visão geral

A Calculadora de normalização de funções de onda calcula a constante de normalização A para garantir a probabilidade unitária total (∫|ψ|²dx = 1) em sistemas quânticos fundamentais. A ferramenta suporta poços de potencial infinito, pacotes gaussianos, o estado fundamental do oscilador harmônico e decaimentos exponenciais unilaterais, fornecendo a expressão analítica, o valor numérico normalizado, a verificação da integral e os momentos estatísticos como o valor esperado ⟨x⟩ e a incerteza de posição σ_x.

Quando usar

  • Ao resolver problemas de mecânica quântica que exigem normalizar estados de partícula na caixa, osciladores harmônicos ou pacotes gaussianos.
  • Ao verificar analítica ou numericamente se a integral da densidade de probabilidade ⟨ψ|ψ⟩ resulta exatamente em 1.
  • Ao calcular rapidamente os valores esperados de posição ⟨x⟩ e o desvio padrão espacial σ_x de uma função de onda.

Como funciona

  1. 1Selecione a família da função de onda desejada: poço infinito, gaussiana, estado fundamental do oscilador harmônico ou decaimento exponencial.
  2. 2Insira os parâmetros físicos correspondentes, como a largura do poço L e o nível n, a dispersão σ, ou a massa m e frequência angular ω.
  3. 3A ferramenta resolve a condição de contorno ∫|ψ(x)|²dx = 1 para determinar a constante A e exibe o estado normalizado final junto aos momentos estatísticos ⟨x⟩ e σ_x.

Casos de uso

  • Resolução de exercícios acadêmicos de física moderna e mecânica quântica introdutória.
  • Determinação de larguras de confinamento e incertezas espaciais em poços quânticos e heteroestruturas semicondutoras.
  • Validação de condições iniciais e pacotes de onda para simulações numéricas da equação de Schrödinger.

Exemplos

1. Confinamento de elétron em poço quântico de 1 nm

Estudante de Física

Contexto

Análise do estado fundamental (n = 1) de um elétron confinado em uma nanoestrutura modelada como poço de potencial infinito de 1 nm.

Problema

Calcular a constante de normalização analítica e a dispersão espacial de posição do elétron no poço.

Como usar

Selecione a família 'Poço infinito', defina o comprimento L como 1e-9 metros e o nível n como 1.

Resultado

Obtém A = 4,47214×10⁴ m^(−1/2), com verificação de integral unitária ⟨ψ|ψ⟩ = 1,000000, ⟨x⟩ = 0,5 nm e σ_x = 0,1808 nm.

2. Normalização de pacote de ondas gaussiano

Pesquisador de Óptica Quântica

Contexto

Preparação de um estado gaussiano espacialmente distribuído com largura σ = 1 m para modelar a dispersão de probabilidade livre.

Problema

Obter a constante de amplitude exata e checar se o desvio padrão estatístico coincide com o parâmetro de largura.

Como usar

Escolha a família 'Gaussiana' e insira a largura σ como 1.

Resultado

Perguntas frequentes

Por que é necessário normalizar uma função de onda?

Pela interpretação probabilística de Born, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser exatamente igual a 1 (100%).

Quais famílias de funções de onda são suportadas?

Suporta poço infinito unidimensional A·sin(nπx/L), pacote gaussiano A·exp(−x²/(2σ²)), oscilador harmônico no estado fundamental A·exp(−mωx²/(2ℏ)) e decaimento exponencial unilateral A·exp(−αx).

Qual é a unidade da constante de normalização A em 1D?

Em problemas unidimensionais, a constante de normalização A possui dimensão de m^(−1/2) no Sistema Internacional de Unidades.

Como a constante do poço infinito depende do nível quântico n?

A constante A = √(2/L) independe do nível quântico n no poço infinito, pois a integral de sin²(nπx/L) sobre [0, L] resulta em L/2 para qualquer n inteiro.

O cálculo inclui a constante reduzida de Planck (ℏ)?

Sim, para o estado fundamental do oscilador harmônico, o cálculo utiliza o valor padrão de ℏ para obter A = (mω/(πℏ))^(1/4).

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Calculadora do tensor de tensões de Maxwell

Tensor de tensões de Maxwell T_ij = ε₀(E_iE_j − ½E²δ_ij) + (1/μ₀)(B_iB_j − ½B²δ_ij) a partir dos vetores E e B completos: a matriz 3×3 em N/m², as densidades de energia, a verificação do traço tr T = −(u_E+u_B) e a tração T·n̂ numa superfície com normal à escolha. Num campo puro as linhas puxam ao longo de si mesmas com tensão u e comprimem de lado com a mesma pressão u; o de uma onda plana colapsa em diag(0, 0, −u). Âncoras: a luz do sol pressiona com apenas 3.3 µPa; um campo de ruptura de 3 MV/m puxa ao longo de si com ≈ 40 Pa e comprime lateralmente com os mesmos 40 Pa.

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Partícula em uma caixa 1D

Níveis de uma caixa de potencial infinita 1D, E_n = n²h²/(8mL²): partícula elétron/próton/nêutron/alfa ou massa personalizada, comprimento da caixa em unidades de m a pm. Retorna E_1 (energia de ponto zero — a partícula nunca pode estar em repouso), o nível pedido, a verificação da onda estacionária de de Broglie λ_dB = 2L/n, o comprimento de onda do fóton da transição n+1 → n e, opcionalmente, a escada de níveis até n = 12. Prender um próton numa caixa nuclear de 10 fm dá ~2 MeV de ponto zero — é por isso que a física nuclear vive na faixa de MeV.

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Calculadora do vetor de Poynting

Densidade de fluxo de energia de um campo eletromagnético, S = E × H = (1/μ₀) E × B: unidades de E e B selecionáveis, o campo auxiliar H = B/μ₀, S = E·B·senθ/μ₀ em W/m², as duas densidades de energia e a verificação de onda plana u_E = u_B (onde S = c·u). Âncoras: sol forte é E ≈ 614 V/m com B ≈ 2.05 µT e carrega ≈ 1 kW/m²; uma lâmpada de 100 W a um metro entrega apenas ≈ 7.96 W/m².

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Empacotador de lançamento digital

Empacota um álbum para distribuição digital: verificações por perfil de distribuidora, validação de capa, prévias MP3, cópias FLAC e um ZIP de entrega com README e manifesto legível por máquina.

Calcula A = 0,751126 m^(−1/2) a partir de (πσ²)^(−1/4), confirmando ⟨x⟩ = 0 m e σ_x = 1,00000 m.